Razones trigonométricas en un triangulo rectángulo
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIANGULO RECTÁNGULO
Senθ = y/r = cateto opuesto/hipotenusa
Cosθ = x/r = cateto adyacente/hipotenusa
Tanθ = y/x = cateto opuesto/cateto adyacente
Cotθ = x/y = cateto adyacente/cateto opuesto
Secθ = r/x = hipotenusa/cateto adyacente
Cscθ = r/y = hipotenusa/cateto opuesto
CONOCE:
Los triángulos rectángulos ABC y EBD son semejantes porque cumplen el criterio de semejanza angulo-angulo. Los dos tienen un angulo recto y comparten la medida del angulo de 33, 69º. por lo tanto, el angulo de es congruente con el angulo C; es decir de = 56, 31º
Por ser triangulo semejantes, se pueden establecer razones y proporciones entre los medidas de sus lados y así hallar la medida del segmento AB
AC/ED = AB/EB , entonces 4/2 = AB/3
Por lo tanto; AB = b
Otro tipo de razones se pueden establecer entre las medidas de los lados y los ángulos agudos en un triangulo rectángulo. Estas razones se denominan razones trigonométricas.
Sea el triangulo rectángulo de la figura 3,25 se define las razones trigonométricas del angulo B como se presenta continuación
.Una razón trigonométrica expresa la relación entre la medida de uno de los ángulos agudos y la medida de los lados de un Triangulo rectángulo.
Ejemplo: Las razones trigonométricas para el angulo ∝ en el triangulo rectángulo ABC de la figura 3,26 se calculan aplicando las relaciones.
Sen∝ = 2/3 Cos∝ = √5/3 Tan∝ = 2/√2 = 2√5/5
Cot∝ = √5/2 Sec∝ = 3/√5 Csc∝ = 3/2
Ejemplo 2:
.Se conoce la medida de un lado y angulo agudo.
38º - 90 = 52º ∡β
Y/R = Seno 38º b/8
b = 8 sen x 38º = b = 8 (0,6)
= b = 4,8
a = 38º = a/8 =a = 8cos8
a = 8 (0,827) = a = 6,616
Ejemplo 3:
.Encontrar los valores de los lados ∡ y faltantes.
37º + 90º + ∝ = 180º
127º + ∝ = 180º = ∝ = 180º - 127º
∝ = 53º
Sen 37º = 6/y
Y x cot 37º = 6
Y = 6/cot 37º
= Cot 37º x 60
= 0,75 x 6
= 4,52
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN ÁNGULOS DE 30º 45º Y 60º
.Para determinar las razones trigonométricas en ángulos de 30º y 60º se utiliza una construcción auxiliar de un triangulo equilatero.
*Ángulos de 30º y 60º
L^2 = (L/2)^2 + h^2
h^2 = h^2 - (L/2)^2
Razones de 30º
Sen 30º = L/2/L/1 = 1.L/2.L = 1/2
Cos 30º = √3L/2/L/1 = √3L/2L = √3/2
Tan 30º = L/2/√3L/2 = 2L/2√3L = 1/√3
Cot 30º = √3L/2/l/2 = 2√3L/2L = √3
Sec 30º = L/1/√3L/2 = 2L/√3L = 2/√3
Csc 30º = 1/L/2L = 2L/1L = 2/1
Razones de 60º
Sen 60º = √3L/2/L/1 = √3L/2L = √3/2
Cos 60º = L/2/L/1 = 1L/2L = 1/2
Tan 60º = √3L/2/L/2 = 2√3L/2L = √3
Cot 60º = L/2/√3L/2 = 2L/2√3L = 1/√3
Sec 60º = L/1/L/2 = L2/L1 = 2/1
Csc 60º = L/1/√3L/2 = 2L/√3L = 2/√3
Ejemplo:
* Sen π/4 + cos π/3 x sen π/6
R/ sen 45º + cos 60º x sen 30º
= 1/√2 + 1/2 x 1/2 = 1/4 + 1/2 = 2/4√2
*Sen 45º + sen 60º
R/ 1/√2 + √3/2 = (1x2) + (√3 + √2)/√2 + √2 = 2+√6/√4
= √8/√4 = √4/√2 = √2/√1 = √1/√1
Senθ = y/r = cateto opuesto/hipotenusa
Cosθ = x/r = cateto adyacente/hipotenusa
Tanθ = y/x = cateto opuesto/cateto adyacente
Cotθ = x/y = cateto adyacente/cateto opuesto
Secθ = r/x = hipotenusa/cateto adyacente
Cscθ = r/y = hipotenusa/cateto opuesto
CONOCE:
Los triángulos rectángulos ABC y EBD son semejantes porque cumplen el criterio de semejanza angulo-angulo. Los dos tienen un angulo recto y comparten la medida del angulo de 33, 69º. por lo tanto, el angulo de es congruente con el angulo C; es decir de = 56, 31º
Por ser triangulo semejantes, se pueden establecer razones y proporciones entre los medidas de sus lados y así hallar la medida del segmento AB
AC/ED = AB/EB , entonces 4/2 = AB/3
Por lo tanto; AB = b
Otro tipo de razones se pueden establecer entre las medidas de los lados y los ángulos agudos en un triangulo rectángulo. Estas razones se denominan razones trigonométricas.
Sea el triangulo rectángulo de la figura 3,25 se define las razones trigonométricas del angulo B como se presenta continuación
.Una razón trigonométrica expresa la relación entre la medida de uno de los ángulos agudos y la medida de los lados de un Triangulo rectángulo.
Ejemplo: Las razones trigonométricas para el angulo ∝ en el triangulo rectángulo ABC de la figura 3,26 se calculan aplicando las relaciones.
Sen∝ = 2/3 Cos∝ = √5/3 Tan∝ = 2/√2 = 2√5/5
Cot∝ = √5/2 Sec∝ = 3/√5 Csc∝ = 3/2
Ejemplo 2:
.Se conoce la medida de un lado y angulo agudo.
38º - 90 = 52º ∡β
Y/R = Seno 38º b/8
b = 8 sen x 38º = b = 8 (0,6)
= b = 4,8
a = 38º = a/8 =a = 8cos8
a = 8 (0,827) = a = 6,616
Ejemplo 3:
.Encontrar los valores de los lados ∡ y faltantes.
37º + 90º + ∝ = 180º
127º + ∝ = 180º = ∝ = 180º - 127º
∝ = 53º
Sen 37º = 6/y
Y x cot 37º = 6
Y = 6/cot 37º
= Cot 37º x 60
= 0,75 x 6
= 4,52
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN ÁNGULOS DE 30º 45º Y 60º
.Para determinar las razones trigonométricas en ángulos de 30º y 60º se utiliza una construcción auxiliar de un triangulo equilatero.
*Ángulos de 30º y 60º
L^2 = (L/2)^2 + h^2
h^2 = h^2 - (L/2)^2
Razones de 30º
Sen 30º = L/2/L/1 = 1.L/2.L = 1/2
Cos 30º = √3L/2/L/1 = √3L/2L = √3/2
Tan 30º = L/2/√3L/2 = 2L/2√3L = 1/√3
Cot 30º = √3L/2/l/2 = 2√3L/2L = √3
Sec 30º = L/1/√3L/2 = 2L/√3L = 2/√3
Csc 30º = 1/L/2L = 2L/1L = 2/1
Razones de 60º
Sen 60º = √3L/2/L/1 = √3L/2L = √3/2
Cos 60º = L/2/L/1 = 1L/2L = 1/2
Tan 60º = √3L/2/L/2 = 2√3L/2L = √3
Cot 60º = L/2/√3L/2 = 2L/2√3L = 1/√3
Sec 60º = L/1/L/2 = L2/L1 = 2/1
Csc 60º = L/1/√3L/2 = 2L/√3L = 2/√3
Ejemplo:
* Sen π/4 + cos π/3 x sen π/6
R/ sen 45º + cos 60º x sen 30º
= 1/√2 + 1/2 x 1/2 = 1/4 + 1/2 = 2/4√2
*Sen 45º + sen 60º
R/ 1/√2 + √3/2 = (1x2) + (√3 + √2)/√2 + √2 = 2+√6/√4
= √8/√4 = √4/√2 = √2/√1 = √1/√1
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