Trigonometria
TRIGONOMETRÍA
.La palabra trigonométrica se deriva de dos raíces griegas: Trigon que significa triangulo y metra que significa medida. La trigonometria se origino como el estudio de la relaciones entre los lados en los ángulos de los triángulos y se empleo para resolver inicialmente problemas de navegación y realizar cálculos astronómicos. Los babilonios y los egipcios fueron los primeros en utilizar razones trigonométricas para tomar medias en agricultura y para la construcción de pirámides. En Grecia se destacan los trabajos del impacto de Nicea y de Claudio Tolomeo quienes construyeron las primeras tablas de las funciones trigonométricas.
.A finales del siglo VIII los astrónomos árabes emplearon la función Seno y a finales del siglo X ya se utilizaban las otras 5 funciones. La trigonométrica árabe se difundió por medio de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. En la actualidad la trigonométrica se usa en muchos campos del conocimiento, tanto teóricos como prácticos e intervienen en gran cantidad de investigaciones geométricas y algebraicas, razón por la cual su aplicación hoy no se limita a las relaciones entre los ángulos y lados de un triangulo.
DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN ANGULO EN POSICIÓN NORMAL
.Si α es un angulo en posición normal y P (x, y) es cualquier punto contenido en el lado final, diferente de 0 (o,o) se cumple que 0P = r = √x^2 + y^2 Se definen las funciones trigonométricas para el angulo α de la siguiente manera:
Seno α = Senα = y/r
Coseno α = Cosα = x/r
Tangente α = Tanα = y/x
Cotangente α = Cotα = x/y
Secante α = Secα = r/x
Cosecante α = Cscα = r/y
.Como consecuencias de las definiciones anteriores, se obtiene las siguiente relaciones reciprocas:
CSC α =1/senα COTα = 1/tanα SECα = 1/cosα
.Los valores de las funciones trigonométricas de un angulo α es independiente del punto que se ubique sobre su lado final, en la siguiente figura se plantea una sencilla gráfica que demuestra esta afirmación.
Sen α = Y1/r1 = Y2/r2
Cos α = x1/r1 = X2/r2
Tan α = Y1/X1 = Y2/X2
X1 , X2 = 0
.Cabe notas que las funciones TAN y SEC no están unidas para los ángulos + 𝜋/2 y +3𝜋/2 de la misma manera las funciones COTANGENTE y COSECANTE no están definidas para los ángulos 0, ± 𝜋 y ± 2𝜋. Si Ω es un angulo en posición normal cuyo lado final contiene al punto a (4, -2) determina los valores de la función SENΩ COSENOΩ y TANGENTEΩ.
Sen ∝ = -2/2√5 = -1/√5
Cos ∝ = 4/2√5 = 2/√5
Tan ∝ = -2/4 = -1/2
Ejemplos:
1. Determinar las razones trigonométricas de un angulo en posición normal cuyo lado final contiene A.
* A(3,4)
2. En un triangulo rectángulo ABC, C = hipotenusa a,b = catetos.
* si a = 5xb=7 = c=
r = √x^2 + y^2
r = (4)^2 + (3)^2 = √9 + 16
r = √25 = 5
SenӨ = 4/5
CosӨ = 3/5
TanӨ = 4/3
CotӨ = 3/4
SecӨ = 5/3
CscӨ = 5/4
si a = 5xb=7 = c=
B = √a^2 - c^2
B = √2^2 - 5^2
B = √4 - 10
B = √ -6
.La palabra trigonométrica se deriva de dos raíces griegas: Trigon que significa triangulo y metra que significa medida. La trigonometria se origino como el estudio de la relaciones entre los lados en los ángulos de los triángulos y se empleo para resolver inicialmente problemas de navegación y realizar cálculos astronómicos. Los babilonios y los egipcios fueron los primeros en utilizar razones trigonométricas para tomar medias en agricultura y para la construcción de pirámides. En Grecia se destacan los trabajos del impacto de Nicea y de Claudio Tolomeo quienes construyeron las primeras tablas de las funciones trigonométricas.
.A finales del siglo VIII los astrónomos árabes emplearon la función Seno y a finales del siglo X ya se utilizaban las otras 5 funciones. La trigonométrica árabe se difundió por medio de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. En la actualidad la trigonométrica se usa en muchos campos del conocimiento, tanto teóricos como prácticos e intervienen en gran cantidad de investigaciones geométricas y algebraicas, razón por la cual su aplicación hoy no se limita a las relaciones entre los ángulos y lados de un triangulo.
DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN ANGULO EN POSICIÓN NORMAL
.Si α es un angulo en posición normal y P (x, y) es cualquier punto contenido en el lado final, diferente de 0 (o,o) se cumple que 0P = r = √x^2 + y^2 Se definen las funciones trigonométricas para el angulo α de la siguiente manera:
Seno α = Senα = y/r
Coseno α = Cosα = x/r
Tangente α = Tanα = y/x
Cotangente α = Cotα = x/y
Secante α = Secα = r/x
Cosecante α = Cscα = r/y
.Como consecuencias de las definiciones anteriores, se obtiene las siguiente relaciones reciprocas:
CSC α =1/senα COTα = 1/tanα SECα = 1/cosα
.Los valores de las funciones trigonométricas de un angulo α es independiente del punto que se ubique sobre su lado final, en la siguiente figura se plantea una sencilla gráfica que demuestra esta afirmación.
Sen α = Y1/r1 = Y2/r2
Cos α = x1/r1 = X2/r2
Tan α = Y1/X1 = Y2/X2
X1 , X2 = 0
.Cabe notas que las funciones TAN y SEC no están unidas para los ángulos + 𝜋/2 y +3𝜋/2 de la misma manera las funciones COTANGENTE y COSECANTE no están definidas para los ángulos 0, ± 𝜋 y ± 2𝜋. Si Ω es un angulo en posición normal cuyo lado final contiene al punto a (4, -2) determina los valores de la función SENΩ COSENOΩ y TANGENTEΩ.
Sen ∝ = -2/2√5 = -1/√5
Cos ∝ = 4/2√5 = 2/√5
Tan ∝ = -2/4 = -1/2
Ejemplos:
1. Determinar las razones trigonométricas de un angulo en posición normal cuyo lado final contiene A.
* A(3,4)
2. En un triangulo rectángulo ABC, C = hipotenusa a,b = catetos.
* si a = 5xb=7 = c=
r = √x^2 + y^2
r = (4)^2 + (3)^2 = √9 + 16
r = √25 = 5
SenӨ = 4/5
CosӨ = 3/5
TanӨ = 4/3
CotӨ = 3/4
SecӨ = 5/3
CscӨ = 5/4
si a = 5xb=7 = c=
B = √a^2 - c^2
B = √2^2 - 5^2
B = √4 - 10
B = √ -6
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