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   RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS . En este tema se estudiara la solución de triángulos en los cuales ninguno de los ángulos es recto. Este tipo de triángulos se denomina oblicuángulos. Para resolver triángulos oblicuángulos se usan dos teoremas: Teorema o ley del seno y teorema o ley del coseno. En la resolución de triángulos se presentan 4 casos. Caso 1. (LAA o ALA) Si se conoce un lado y dos ángulos. Caso 2. (LLA) Si se conocen 2 lados y el angulo opuesto a uno de ellos. Caso 3. (LAL) Si se conocen 2 lados y el angulo comprendido entre ellos Caso 4. (LLL) Si se conocen la medida de los 3 lados tendría que encontrar la medida de los 3 ángulos Para resolver triángulos que cumplen las condiciones del caso 1 y 2 se utiliza la ley del seno. Y para solucionar las condiciones 3 y 4 se utiliza la ley del coseno. En todo triangulo el seno de los ángulos y la medida de los lados respectivamente opuesto a dichos ángulos son directamente propor...

                           RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS . En este tema se estudiara la solución de triángulos en los cuales ninguno de los ángulos es recto. Este tipo de triángulos se denomina oblicuángulos. Para resolver triángulos oblicuángulos se usan dos teoremas: Teorema o ley del seno y teorema o ley del coseno. En la resolución de triángulos se presentan 4 casos. Caso 1. (LAA o ALA) Si se conoce un lado y dos ángulos. Caso 2. (LLA) Si se conocen 2 lados y el angulo opuesto a uno de ellos. Caso 3. (LAL) Si se conocen 2 lados y el angulo comprendido entre ellos Caso 4. (LLL) Si se conocen la medida de los 3 lados tendría que encontrar la medida de los 3 ángulos Para resolver triángulos que cumplen las condiciones del caso 1 y 2 se utiliza la ley del seno. Y para solucionar las condiciones 3 y 4 se utiliza la ley del coseno. En todo triangulo el seno de los ángulos y la...

    DIFERENCIA DE CUADRADOS . La diferencia de los cuadrados de dos expresiones que involucran funciones trigonométricas es igual a la suma por la diferencia de las expresiones. Ejemplo: *( Cosx + senx) (cosx - senx) cos^2x - cosx senx + senx . cosx - sen^2x cos^2 - sen^2x = (cosx + senx) (senx - cosx) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Recordar: (a+b)^2 = (a+b) (a+b) (a+b)^2 = a^2 + 2 a.b +b^2 (a-b)^2 = a^2 - 2 a.b + b^2 Ejemplo 2: (senx + 2cosx)^2 = (senx + 2cosx) (senx + 2cosx) (senx + 2cosx)^2 = (senx)^2 +2 (senx) (2cosx) + (2cosx)^2                              =  sen^2 + 4 senx cosx + 4 cos^2x.                                                               ...

     TRIGONOMETRIA ANALÍTICA  .En las expresiones algebraicas se utilizan variables importantes, cuyos valores pertenecen al conjunto de números reales. En esta se aplican algunos procedimientos utilizados en álgebra a expresiones que involucran pues estos valores pertenecen a los números reales.              OPERACIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS  .Para iniciar el estudio de las expresiones que involucran las funciones trigonométricas se estudiaran, la suma, la resta, multiplicación y la división de estas expresiones.                              SUMA Y RESTA DE FRACCIONES TRIGONOMÉTRICAS .Para resolver la suma y esta de las expresiones que involucran expresiones trigonométricas debemos a puntar los términos semejantes y reducirlos. Nota : Para sumar números enteros se deben tener en cuenta sus signos 4 + 3 = 7 -5 ...

                                           CIRCUNFERENCIA UNITARIA . El estudio de las funciones trigonométricas requieren el análisis de sus comportamientos  y de la identificación de su dominio y su rango. Para realizar dicho análisis se considera la circunferencia de radio uno centrada en el plano cartesiano. La circunferencia unitaria es aquella que tiene como centro el origen del plano cartesiano y de radio la unidad. En la figura anterior se muestra la circunferencia unitaria que contiene al punto P(x,y). Al aplicar el teorema de pitagoras se obtiene que para cada punto P(x,y) se cumple que  x^2 + y^2 = 1 .Si θ es un angulo en posición normal cuya medida es igual Trad la medida del arco S subtendido por dicho angulo en la circunferencia unitaria se obtiene mediante.. Ejemplo . Verificar que el punto M (1/2 - √3/2) pertenece a la circunferencia uni...

 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIANGULO RECTÁNGULO Senθ = y/r = cateto opuesto/hipotenusa Cosθ = x/r = cateto adyacente/hipotenusa Tanθ = y/x = cateto opuesto/cateto adyacente Cotθ = x/y = cateto adyacente/cateto opuesto Secθ = r/x = hipotenusa/cateto adyacente Cscθ = r/y = hipotenusa/cateto opuesto CONOCE: Los triángulos rectángulos ABC y EBD son semejantes porque cumplen  el criterio de semejanza angulo-angulo. Los dos tienen un angulo recto y comparten la medida del angulo de 33, 69º. por lo tanto, el angulo de es congruente con el angulo  C; es decir de = 56, 31º Por ser triangulo  semejantes, se pueden establecer razones y proporciones entre los medidas de sus lados y así hallar la medida del segmento AB AC/ED = AB/EB , entonces 4/2 = AB/3 Por lo tanto; AB = b Otro tipo de razones se pueden establecer entre las medidas de los lados  y los ángulos agudos en un triangulo  rectángulo. Estas razones se denominan razon...

  SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ANGULO EN                                                                        POSICIÓN NORMAL Para determinar el signo de las funciones trigonométricas se deben analizar el comportamiento de  R, X, Y. Si Ө es un angulo es posición normal y  P (x,y)  es un punto sobre el lado final de Ө diferente de  0 (0,0)   0P = r = √^2 + y^2 .X  y Y  varían dependiendo el variante en que se encuentre por lo tanto el signo de los valores trigonométricas para cada angulo depende de los signos X,Y. En el siguiente cuadro se presentan los signos de las funciones  del angulo Ө en posición normal para los diferentes cuadrantes en que puede estar ubicado el lado final. EJEMPLO: Si tanӨ ...

  TRIGONOMETRÍA   .La palabra trigonométrica se deriva de dos raíces griegas: Trigon que significa triangulo y metra que significa medida. La trigonometria se origino como el estudio de la relaciones entre los lados en los ángulos de los triángulos y se empleo para resolver inicialmente problemas de navegación y realizar cálculos astronómicos. Los babilonios y los egipcios fueron los primeros en utilizar razones trigonométricas para tomar medias en agricultura y para la construcción de pirámides. En Grecia se destacan los trabajos del impacto de Nicea y de Claudio Tolomeo quienes construyeron las primeras tablas de las funciones trigonométricas. .A finales del siglo VIII los astrónomos árabes emplearon la función Seno y a finales del siglo X ya se utilizaban las otras 5 funciones. La trigonométrica árabe se difundió por medio de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. En la actualidad la trigonométrica se usa en mu...

                                                              TRIÁNGULOS .El triangulo es un polígono de tres lados que da origen a tres vértices y tres ángulos internos. Es la figura mas simple, después de la recta en la geometría. Como norma general un triangulo se representa como tres letras mayúsculas de los vértices (ABC). .De acuerdo a la longitud de sus lados, un triangulo puede clasificarse en equilatero, donde los tres lados del triangulo son iguales: En isósceles, el triangulo tiene dos lados iguales y uno desigual, y en escaleno, donde el triangulo tiene los tres lados desiguales. .También se pueden clasificar según la medida de sus ángulos, puede ser un acutángulo, donde los tres ángulos son agudos; es decir, ángulos menores que 90º. Si un triangulo presenta un angulo recto o angulo de 90º se dice que es rectángulo, ...

                                                   LONGITUD DE UN ARCO .La longitud de un arco (S) escrito sobre una circunferencia se calcula mediante la expresión.                                                         VELOCIDAD ANGULAR .Cuando un objeto gira, su rapidez depende del angulo que barre y el tiempo empleado en barrer dicho angulo. Ejemplo:  En el disco gira un angulo beta en un tiempo de todos sus radios que barren el mismo angulo en dicho tiempo.                      .Si un objeto gira ángulos iguales en tiempos iguales se define la velocidad angular como:   ω  = θ/β .La velocidad angular se mide en radiales por Sg o en radiales po...

Ángulos .Es la unión de dos rayos o semi-rectas de mismo origen. A las semi-rectas se les denomina la dos y al origen se le llama vértice. .Según esta definición, el orden en que se nombran los lados en un angulo es indiferente. Sin embargo, en el estudio de la trigonométrica es importante tener en cuenta el lado que se nombra primero. Es decir, hay diferencia en decir:  ∡  CBA y  ∡  ABC. .Ya que nos permite identificar el sentido y el ciclo del angulo (positivo o negativo). Considerado así los ángulos se llaman orientados. ∡ CBA = BC : lado inicial                                             ∡ ABC = AB: Lado inicial                 BA : lado final                                     ...